Les concepts élémentaires de la méréologie
11 décembre 2004
Partie propre
Le concept le plus élémentaire et le plus intuitif de la méréologie est celui de la relation de partie à tout. Les exemples ne manquent pas : on parlera d'un livre et de son premier chapitre, d'un homme et de sa main, d'un match et de sa seconde mi-temps, etc. Une autre façon de réécrire ces exemples en français pourrait être la suivante : le premier chapitre du livre, la main de cet homme, la seconde mi-temps du match, etc. On verra par la suite l'importance que peut avoir une telle réécriture.
On peut paraphraser ces exemples en écrivant que l'objet x est (une) partie de l'objet y. J'emploie ici le terme d'objet en un sens très large, comme synonyme de quelque chose quelconque. D'autres déterminations seraient nécessaires à propos de ce terme, mais elles viendront en temps voulu. Pour exprimer cette relation, on peut utiliser la notation suivante :
x << y
Mais d'autres notations sont possibles. Casati et Varzi utilisent par exemple la notation suivante
PPxy
en laissant de côté les quantificateurs universels
(∀x
et ∀y
), par souci de
lisibilité.
Les symboles x
et y
désignent des variables
singulières et ces variables dénotent des individus. Cela signifie que
les termes de la relation tout-partie sont les types logiques les plus
bas (par rapport à des entités d'ordre supérieur comme les classes, les
fonctions ou les attributs) et qu'ils s'appliquent à des entités
individuelles, quelque soit leur types.
Les symboles <<
et PP
désignent un prédicat
à deux places ou relation binaire. Une fonction à n places (avec n
supérieur à 1) s'appelle une relation. J'y reviendrai aussi.
On peut maintenant poser les propriétés formelles élémentaires de la relation partie-tout (l'irréflexivité, l'asymétrie et la transitivité) vraies pour tout individus :
- IRRÉF :
- Un objet n'est pas une partie propre de lui-même.
- ASYMÉ :
- Si une chose est une partie propre d'une autre, alors la seconde n'est pas une partie propre de la première.
- TRANS :
- Si une chose est une partie propre d'une autre, et si la seconde est une partie propre d'une autre, alors la première est une partie propre de la troisième.
On voit à partir de ces propriétés que la relation de partie propre à tout est un ordre partiel strict.
Partie propre ou impropre
Dans les théories d'ordre partiel en général et dans la méréologie en
particulier, il est plus avantageux de prendre comme primitive du
système formel la relation moins stricte de partie-de-ou-égal-à
(noté <
ou P
). Pour le dire rapidement, dans
la méréologie extensionnelle classique (MEC), égal-à signifie
identique-à. On notera x
est une partie propre ou
impropre de y
de la façon suivante :
x < y
ou
Pxy
L'un des problèmes intéressant à soulever est de savoir si la relation partie-tout est antérieure ou postérieure à la relation d'identité. On laissera ce point de côté : disons que l'un des avantages à partir de la relation d'identité, c'est qu'il est possible de définir partie (impropre) et partie propre.
Commentaires
Pas de référence ni à Le'sniewsky ni à
Grize,Logique Moderne, fascicule 3, Mouton-Gauthier-Villars, 1965(?)
J'ai déjà fait référence à Leśniewski dans Parts et dans la bibliographie, articles qui constituent des notes de lecture de l'ouvrage de Peter Simons, raison pour laquelle je ne cite pas la cinquième partie de l'ouvrage de Grize, dans laquelle sont présentés les systèmes de Leśniewski.