Partie propre

Le concept le plus élémentaire et le plus intuitif de la méréologie est celui de la relation de partie à tout. Les exemples ne manquent pas : on parlera d'un livre et de son premier chapitre, d'un homme et de sa main, d'un match et de sa seconde mi-temps, etc. Une autre façon de réécrire ces exemples en français pourrait être la suivante : le premier chapitre du livre, la main de cet homme, la seconde mi-temps du match, etc. On verra par la suite l'importance que peut avoir une telle réécriture.

On peut paraphraser ces exemples en écrivant que l'objet x est (une) partie de l'objet y. J'emploie ici le terme d'objet en un sens très large, comme synonyme de quelque chose quelconque. D'autres déterminations seraient nécessaires à propos de ce terme, mais elles viendront en temps voulu. Pour exprimer cette relation, on peut utiliser la notation suivante :

x << y

Mais d'autres notations sont possibles. Casati et Varzi utilisent par exemple la notation suivante

PPxy

en laissant de côté les quantificateurs universels (∀x et ∀y), par souci de lisibilité.

Les symboles x et y désignent des variables singulières et ces variables dénotent des individus. Cela signifie que les termes de la relation tout-partie sont les types logiques les plus bas (par rapport à des entités d'ordre supérieur comme les classes, les fonctions ou les attributs) et qu'ils s'appliquent à des entités individuelles, quelque soit leur types.

Les symboles << et PP désignent un prédicat à deux places ou relation binaire. Une fonction à n places (avec n supérieur à 1) s'appelle une relation. J'y reviendrai aussi.

On peut maintenant poser les propriétés formelles élémentaires de la relation partie-tout (l'irréflexivité, l'asymétrie et la transitivité) vraies pour tout individus :

IRRÉF :
Un objet n'est pas une partie propre de lui-même.
ASYMÉ :
Si une chose est une partie propre d'une autre, alors la seconde n'est pas une partie propre de la première.
TRANS :
Si une chose est une partie propre d'une autre, et si la seconde est une partie propre d'une autre, alors la première est une partie propre de la troisième.

On voit à partir de ces propriétés que la relation de partie propre à tout est un ordre partiel strict.

Partie propre ou impropre

Dans les théories d'ordre partiel en général et dans la méréologie en particulier, il est plus avantageux de prendre comme primitive du système formel la relation moins stricte de partie-de-ou-égal-à (noté < ou P). Pour le dire rapidement, dans la méréologie extensionnelle classique (MEC), égal-à signifie identique-à. On notera x est une partie propre ou impropre de y de la façon suivante :

x < y

ou

Pxy

L'un des problèmes intéressant à soulever est de savoir si la relation partie-tout est antérieure ou postérieure à la relation d'identité. On laissera ce point de côté : disons que l'un des avantages à partir de la relation d'identité, c'est qu'il est possible de définir partie (impropre) et partie propre.