Varia

The study of wholes and parts is known as mereology. This article is an introduction to mereology as it is practiced in the Latin West, starting with Boethius in the sixth century A.D. and ending in the fourteenth century. It will highlight key medieval mereological concepts and principles and outline some of the fundamental issues that confront mereologists in the Middle Ages.

Medieval Mereology

Andrew W. Arling, l'auteur de l'article sur la SEP, a mis en ligne également A Study in Early Medieval Mereology: Boethius, Abelard, and Pseudo-Joscelin.

Une conférence organisée par Shieva Kleinschmidt les 13-15 octobre 2006.

Produit binaire

Deux individus superposés ont par définition au moins une partie en commun. On appellera cette partie commune le produit de deux individus x et y. On écrira ce produit

x · y

Somme binaire

La somme binaire ou somme méréologique de deux individus x et y est un individu z tel que cet individu se compose exactement de x et de y :

x + y

Par exemple, mon bureau est la somme méréologique de cette planche de bois et de ces deux trétaux. Ce concept de somme binaire pose un certain nombre de problèmes parce qu'il suppose que deux ou plusieurs individus quelconques possèdent une somme. C'est le problème de l'existence de sommes arbitraires (je fusionne rarement avec l'écran de mon ordinateur).

Différence

Si x et y sont deux individus, leur différence méréologique est le plus grand individu contenu dans x qui n'a aucune partie commune avec y :

x - y

Produit et somme générale

Pour couvrir les cas où chaque classe d'individus a une somme et les cas où chaque classe d'individus qui possèdent une partie commune a un produit, on va introduire une nouvelle notation pour la somme ou la fusion :

Σx (Fx)

et pour le produit général ou noyau de tous les objets satisfaisant un prédicat F ξ :

Πx (Fx)

L'Univers

L'Univers est l'individu unique qui est la somme de tous les individus. Il n'est pas un conteneur dans lequel se trouve des individus, mais il est le tout de ces individus. En ce sens, il n'y a pas d'Univers vide, on pourra soutenir tout au plus qu'il n'existe pas d'univers. On le note :

U

Le complément

Si la différence et l'Univers existe, alors pour chaque individu il existe un individu unique qui comprend le reste de l'Univers en dehors de lui. Si z est cet individu, son complément noté

U - z

noté ¸, existe et est unique.

L'atome méréologique

Un atome est un individu qui n'a pas de partie propre. Il est insécable, comme son étymologie l'indique (à ne pas confondre avec l'atome des théories physiques). On exprime x est un atome par

At x

Partie propre

Le concept le plus élémentaire et le plus intuitif de la méréologie est celui de la relation de partie à tout. Les exemples ne manquent pas : on parlera d'un livre et de son premier chapitre, d'un homme et de sa main, d'un match et de sa seconde mi-temps, etc. Une autre façon de réécrire ces exemples en français pourrait être la suivante : le premier chapitre du livre, la main de cet homme, la seconde mi-temps du match, etc. On verra par la suite l'importance que peut avoir une telle réécriture.

On peut paraphraser ces exemples en écrivant que l'objet x est (une) partie de l'objet y. J'emploie ici le terme d'objet en un sens très large, comme synonyme de quelque chose quelconque. D'autres déterminations seraient nécessaires à propos de ce terme, mais elles viendront en temps voulu. Pour exprimer cette relation, on peut utiliser la notation suivante :

x << y

Mais d'autres notations sont possibles. Casati et Varzi utilisent par exemple la notation suivante

PPxy

en laissant de côté les quantificateurs universels (∀x et ∀y), par souci de lisibilité.

Les symboles x et y désignent des variables singulières et ces variables dénotent des individus. Cela signifie que les termes de la relation tout-partie sont les types logiques les plus bas (par rapport à des entités d'ordre supérieur comme les classes, les fonctions ou les attributs) et qu'ils s'appliquent à des entités individuelles, quelque soit leur types.

Les symboles << et PP désignent un prédicat à deux places ou relation binaire. Une fonction à n places (avec n supérieur à 1) s'appelle une relation. J'y reviendrai aussi.

On peut maintenant poser les propriétés formelles élémentaires de la relation partie-tout (l'irréflexivité, l'asymétrie et la transitivité) vraies pour tout individus :

IRRÉF :

Un objet n'est pas une partie propre de lui-même.

ASYMÉ :

Si une chose est une partie propre d'une autre, alors la seconde n'est pas une partie propre de la première.

TRANS :

Si une chose est une partie propre d'une autre, et si la seconde est une partie propre d'une autre, alors la première est une partie propre de la troisième.

On voit à partir de ces propriétés que la relation de partie propre à tout est un ordre partiel strict.

Partie propre ou impropre

Dans les théories d'ordre partiel en général et dans la méréologie en particulier, il est plus avantageux de prendre comme primitive du système formel la relation moins stricte de partie-de-ou-égal-à (noté < ou P). Pour le dire rapidement, dans la méréologie extensionnelle classique (MEC), égal-à signifie identique-à. On notera x est une partie propre ou impropre de y de la façon suivante :

x < y

ou

Pxy

L'un des problèmes intéressant à soulever est de savoir si la relation partie-tout est antérieure ou postérieure à la relation d'identité. On laissera ce point de côté : disons que l'un des avantages à partir de la relation d'identité, c'est qu'il est possible de définir partie (impropre) et partie propre.